调和映照和拟调和映照的若干结果

【摘要】调和映照理论是整体微分几何的核心课题之一,它在几何拓扑和理论物理中有广泛而重要的应用。本文除了研究调和映照的一些重要方面以外,还研究了它的各种推广。各种推广的调和映照也可统称为拟调和映照。全文共分为五章。第一章介绍了我们研究问题的背景和研究现状,同时还简要叙述了全文的主要结果。第二章主要研究了CR流形的几何结构以及CR流形出发的调和映照和拟调和映照的解析性质。首先介绍了一些关于CR流形的基础知识,包括拟调和映照与调和映照的关系和CR多重调和映照的性质。然后我们利用广义的CRPaneitz算子得到了从CR流形到黎曼流形的Bochner型定理。接着我们用活动标架法和Sampson技巧得到了调和映照和拟调和映照的CR多重调和性,并在适当的秩条件下得到其CR全纯性。最后我们研究了从完备非紧的CR流形出发的调和映照和拟调和映照在能量衰减条件下的CR多重调和性。第三章讨论了从CR流形到局部对称空间的调和映照的性质。首先,给出了CR流形情形Siu-Sampson结果在李代数层面的解释,推广了Carlson和Toledo的工作。当目标流行是非紧型的局部Hermitian对称空间,我们得到在适当的秩条件下调和映照的CR全纯性。其次,还探讨了调和映照的基本稳定性问题,并且得到当目标流形是紧型的不可约Hermitian对称空间时,基本稳定的CR多重调和映照在适当的秩条件下是CR全纯映照。第四章研究了从完备的Hermitian流形到Kahler流形的Hermitian调和映照。如果起始流形M上具有某类特殊的穷竭函数并且M上的向量场V=JMδJM满足适当的衰减条件,我们得到了Hermitian多重调和映照的部分能量的单调不等式,从而由该单调不等式得到这类映照的全纯性。第五章研究了带位势的调和映照。我们证明了在位势满足适当条件时,带位势调和映照的单调不等式和Liouville定理。我们还得到了星形区域上带位势调和映照的Dirichlet常边值问题的解唯一。
【作者】杨桂林；
【导师】东瑜昕；
【作者基本信息】复旦大学，基础数学，2013，博士
【关键词】调和映照；拟调和映照；Hermitian调和映照；带位势的调和映照；全纯映；照；CR全纯映照；Bochner型定理；应力-能量张量；单调不等式；Liouville定理；2000MR主题分类；32T15；32V05；53C21；53C25；53C43；

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